המטרה היא הגדרה מתמטית של פחת המסה של מערכת שתי נקודות חומריות. דובר על קיומו אין ספור פעמים, אפילו בתחילת הסדרה. המערכת מהוות שתי נקודות חומריות. מסתן אינה משתנה. זאת המערכת הפשוטה ביותר. הרי המקרים הפשוטים ביותר מהווים בסיס לחקר כללי יותר. כך ההגדרה תהיה חד-משמעית.
כידוע כבר, פחת המסה קשור ישירות עם אנרגיה פוטנציאלית של המערכת. הוא שווה לאפס כאשר אנרגיה פוטנציאלית היא מקסימלית וגם היא שווה לאפס (אנרגיה פוטנציאלית, כידוע, היא בשאר המקרים, מספר שלילי). המערכת נמצאת במצב הספציפי הזה כאשר המרחק בין הנקודות שואף לאינסוף (למעשה מרחק גדול מאוד) – בין גופים אין שום קשר. האם רק במקרה הזה פחת המסה (וגם אנרגיה פוטנציאלית) שווה לאפס? נראה הלאה.
כאשר המחק בין נקודות הוא r, אנרגיה פוטנציאלית של המערכת שווה:
(2) Ep(r) = – Gm1m2/r
כשהמרחק בין הנקודות גדל ושואף לאינסוף, האנרגיה גדלה ב- :
0 – Ep(r)
גם מסתה של המערכת הולכת וגדלה באותה המידה. אפשר לרשום זאת כך:
(3) 0 – Ep (r) = δmc2
זאת המסה שהייתה חסרה כאשר המרחק היה שווה ל- r. אז יש לנו פחת המסה של המערכת כשמרחק בין הנקודות שווה ל- r. הנה הנוסחה:
(4) δm[kg] = Gm1m2/rc2
הנה דוגמאות לחישובים:
1. חשבו פחת המסה הגרביטציונית של מערכת נקודות חומריות זהות שמסתן 1 ק''ג והמרחק ביניהן שווה ל- 1מ'.
הפתרון:
מספיק להציב את הנתונים לנוסחה (4). מקבלים: δm = 7,41·10-28kg. זה מעט ממאוד. לא פלא שהאפקט הזה אינו מורגש ולא ניתן לגלוי. דבר אחר הוא שהגודל:
δm·c2 = 66,69·10-12J ≈ 41,88M
כבר ניתן למדידה בניסוי. אז אפשר לנסות לבדוק את קיומו של פחת המסה. אז יש לנו אפשרות לניבוי (anticipation) ואפשרות לבדיקה – הפרכה (falsification) – זה מה שמאפיין תיאוריה אמתית. אכן, לדיוננו יש כל תכונות של חקר מדעי.
2. חשבו את פחת המסה של המערכת: כדור הארץ-השמש.
הפתרון:
הנתונים:
m = 6·1024 kg (מסה של כדור הארץ)
(מסה של השמש) M = 2·1030 kg
r = 5·1010 m (מרחק ממוצע לשמש – היחידה האסטרונומית)
מותר לנו לראות אותם כנקודות חומריות – כדורים מאוד מרוחקים זה מזה.
שוב מציבים לנוסחה ומקבלים: δm = 6·1016 kg. זאת מסתו של קובייה בעלת המקצוע שאורכו 23 ק''מ וצפיפותה 5 ג'\סמ''ק (בערך צפיפות ממוצעת של כדור הארץ). האנרגיה השקולה למסה הזו הייתה מספקת כדי להוציא את כדור הארץ ממערכת שמש.
3. נניח שאנרגיית קשר (השווה לפחת המסה) בין כדה''א והשמש שווה לאנרגיה קינטית. מהי המהירות ההתחלתית של כדה''א המאפשרת עזיבתו ממערכת שמש? האם המהירות הזו שווה למהירות הבריחה?
הפתרון:
δmc2 = GMm/rc2·c2 = mv2/2 ó v = (2GM/r)1/2
אנו רואים שאכן זאת מהירות הבריחה. זה בעקיפין מאשר את נכונות של כיוון מחשבתנו ובכלל, יתברר הלאה, גם את הגרביטציה הדואלית.
4. מהו פחת המסה הממוצע של המערכת: השמש- כוכב חמה (Mercury)?
אנו מקבלים: δm = 8,6·1015 kg. למה בחרתי במערכת הזו? ובכן ידוע על אַנומַליית פֵריהליוּם של מרקורי הניתן להסבר (תיאור) בעזרת תורת היחסות הכללית – לא בעזרת תיאוריה ניוטונית הקלסית. אפשר לבדוק, האם קיום פחת המסה הגרביטציוני יכול להיות אחראי באפקט הנזכר.
;){kind=link}